Question

9．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=8，以AB为边向外作正方形ABDE，若此正方形中心为点O，则点C和点O之间的距离为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，易证四边形MCNO是矩形，利用已知条件再证明△AOM≌△BON，因为OM=ON，所以AM=BN，进而求出CN的长，根据勾股定理即可求出OC的长．

解答 解：过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，连接OA、OB，

∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠BON}\\{∠OMA=∠ONB=90°}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴AM=BN，
∵AC=4，BC=8，
∴CN=$\frac{AC+BC}{2}$=6，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=6，
由勾股定理得OC=6$\sqrt{2}$，
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．