Question

17．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；
②∠ABD=∠ADB；
③∠ADC=90°-∠ABD；
④BD平分∠ADC；
其中正确的结论有①②③（填所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．

解答 解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EAC+∠ACF）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）
=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．