Question

4．（1）已知方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂．求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于点A、B，且过点（-2，3），设线段AB的长为d．当p为何值时，d²取得最小值并求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）由求根公式可得出两根的表达式，然后将其相加和相乘后，即可得出答案；
（2）设A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，所以d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，由（1）的结论即可得出d²与p的函数关系式，利用二次函数的理论即可求出d²的最小值．

解答 解：（1）∵△=p²-4q≥0，
∴由求根公式可知：x₁=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$，x₂=$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$；
∴x₁+x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$+$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$=-p，
x₁x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$×$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$=q；

（2）把（-2，3）代入y=x²+px+q，
∴3=4-2p+q，
∴q=2p-1，
设A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，
令y=0，
∴x²+px+q=0，
∴由（1）可知：x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∴d²=（x₁-x₂）²
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=p²-4q
=p²-8p+4
=（p-4）²-12
∴d²的最小值为0，
此时p=4±2$\sqrt{3}$
当p=4+2$\sqrt{3}$时，
q=4$\sqrt{3}$+7，
满足p²=4q，
当p=4-2$\sqrt{3}$，
q=-4$\sqrt{3}$-7，
∴p²＞4q．
综上所述，当p=4±2$\sqrt{3}$时，d²的最小值为0．

点评 本题考查二次函数与一元二次方程的联系，综合程度较高，需要学生联系根与系数的关系才能解答，考察学生运算能力和综合运用能力．