Question

13．已知$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$，记A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$，证明：A是一个整数．

Answer 1

分析 分两种情况进行计算，①用等比的性质找出x+y=-（z+t），x+t=-（y+z），代入A即可，②用等比的性质找出x+y=z+t，x+t=y+z，代入A即可，

解答 证明：设$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$=k，
①当x+y+z+t=0时，则有x+y+z=-t，
∴k=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{t}{x+y+z}$=-1，
∴x+y=-（z+t），x+t=-（y+z），
∴A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$
=$\frac{-（z+t）}{z+t}$+$\frac{-（x+t）}{x+t}$+$\frac{-（x+y）}{x+y}$+$\frac{-（y+z）}{y+z}$
=-1+（-1）+（-1）+（-1）
=-4
∴A是一个整数．
②当x+y+z+t≠0时，
∵$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$=k，
∴k=$\frac{x+y+z+t}{3（x+y+z+t）}$=$\frac{1}{3}$，
∵$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=k=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x+y}{（x+z）+（x+y）}$=$\frac{1}{3}$，
∴x+y=z+t，
∵$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=k=$\frac{1}{3}$，
∴y+z=x+t，
∴A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$
=$\frac{z+t}{z+t}$+$\frac{x+t}{x+t}$+$\frac{x+y}{x+y}$+$\frac{y+z}{y+z}$
=1+1+1+1
=4，
∴A是一个整数．
即：A是一个整数．

点评 此题是分式的等式的性质，主要考查了等比的性质，分式的化简，解本题的关键是熟练等比的性质，难点是分两种情况讨论计算．