Question

5．已知：关于x的一元二次方程x²-（n-2m）x+m²-mn=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m-1=0，求证：x²-（n-2m）x+m²-mn=0有一个实数根为-1；
（3）在（2）的条件下，若y是n的函数，且y是上面方程两根之和，结合函数图象回答：当自变量n的取值范围满足什么条件时，y≤2n．

Answer 1

分析 （1）根据方程x²-（n-2m）x+m²-mn=0中，△=[-（n-2m）]²-4（m²-mn）=n²≥0，得出方程总有两个实数根；
（2）先根据m=1，求得一元二次方程x²-（n-2）x+1-n=0，再由求根公式，得到x=n-1或x=-1即可；
（3）在同一平面直角坐标系中，分别画出y=n-2与y=2n的图象，再由图象可得，当n≥-2时，y≤2n．

解答 （1）证明：∵x²-（n-2m）x+m²-mn=0是关于x的一元二次方程，
∴△=[-（n-2m）]²-4（m²-mn）=n²，
∵不论n取任何实数时，都有n²≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）证明：∵m-1=0，
∴m=1，
∴有一元二次方程x²-（n-2）x+1-n=0，
由求根公式，得x=$\frac{（n-2）±n}{2}$，
∴x=n-1或x=-1，
∴方程有一个实数根为x=-1；

（3）解：如图所示，在同一平面直角坐标系中，分别画出y=n-2与y=2n的图象．

由图象可得，当n≥-2时，y≤2n．

点评 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系的运用，解决这类问题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．