Question

如图，已知正五边形ABCDE的边长为2．
（1）求正五边形ABCDE的一个内角的角度；
（2）如果AE和CD的延长线相交于点O，求DO的长．

Answer 1

考点：多边形内角与外角

专题：

分析：（1）首先求得正五边形ABCDE的内角和，即可求得每个内角的度数；
（2）作∠DEO的平分线，交DO于点F．根据角平分线、正五边形的性质，三角形内角和定理及外角的性质可得∠O=∠OEF=36°，∠DFE=∠ODE=72°，那么
OF=EF=DE=2，易证△DOF∽△DOE，根据相似三角形对应边成比例得出DF：DE=DE：OD，设DF=x，即x：2=2：（x+2），解方程即可．

解答：解：（1）正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角=

540°

5

=108°；

（2）作∠DEO的平分线，交DO于点F．
∵∠CDE=∠AED=108°，
∴∠ODE=∠OED=72°，
∴∠O=180°-∠ODE-∠OED=36°，∠DEF=∠OEF=

1

2

∠OED=36°，∠DFE=∠O+∠OEF=72°，
∴OF=EF=DE=2．
在△DEF与△DOE中，
∵∠EDF=∠ODE，∠DEF=∠O=36°，
∴△DEF∽△DOE，
∴DF：DE=DE：OD，
设DF=x，则DO=DF+FO=x+2．
则x：2=2：（x+2），
整理得，x²+2x-4=0，
解得x=

5

-1，
∴DO=

5

+1．

点评：本题考查了多边形内角与外角，角平分线、正五边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键．