Question

13．将抛物线y=x²+（k-1）x-k（k＞0）在x轴下方的部分沿x轴翻折上去其余的部分保持不变，得到图形C，若直线y=kx+1与图形C只有两个交点，则k的取值范围是0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 将图形折叠，求出直线与翻折后的抛物线相切的情况，联立方程组，求出k值，结合k＞0，即可求出k的取值范围．

解答 解：令二次函数y=0，
x²+（k-1）x-k=0，
即：（x+k）（x-1）=0，
x=-k，或x=1，
C（-k，0），D（1，0），
直线y=kx+1过（0，1），
抛物线y=x²+（k-1）x-k在x轴下方的部分沿x轴翻折上去的部分为：y=-x²-（k-1）x+k（-k≤x≤1）
联立直线y=kx+1，得：
x²+（2k-1）x+1-k=0
△=（2k-1）²-4（1-k）=0
得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍）或k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵k＞0，
∴0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
k＞1时，显然不符合题意，
故答案为0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与几何变换以及一次函数的性质，求得抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．