Question

1．建模是数学的核心素养之一，小明在计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$时利用了如下的正方形模型．

第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
由此计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$的结果是$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 由阴影部分面积=1-空白部分面积，可得第n次分割图中：$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，两边除以2可得答案．

解答 解：第1次分割，阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$，空白部分面积为1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
第2次分割，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$，空白部分面积为1-（$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$）=$\frac{1}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．