Question

6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD．
（1）求证：AO=EO；
（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由“三线合一”定理即可得到结论；
（2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD，根据“SAS”定理证得△ABO≌△BBO，由全等三角形的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AE=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，
∴AO=EO；

（2）平行四边形，
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠ABD，∴
AD=BD，
在△ABO和△BBO中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=EO}\\{∠AOB=∠EOB=90°}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BBO，
∴AB=BE，
∴AD=BE，
∵AE=CE，
∴AE=EC，
∴四边形AECD是平行四边形．

点评 本题主要考查了三线合一定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，证得∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=BD是解决问题的关键．