Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．
（1）求证：PQ=BQ；
（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当x为何值时，PR∥BC．

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由已知条件可证得△BPQ为等腰直角三角形，从而证得PQ=BQ．
（2）根据题意证三角形BPQ和三角形CQR都是等腰直角三角形，得到CQ和BQ的和等于BC，从而得到y与x的关系．
（3）因为PR∥BC，从而得到△APR和△ABC相似，对应线段成比例，得到x的值．

解答：（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1
∴∠B=∠C=45°
又∵PQ⊥BQ
∴∠BPQ=45°
∴△BPQ是等腰三角形
∴PQ=BQ．
（2）解：在等腰直角△BPQ中，
∵BP=x
∴BQ=

2

2

x
在Rt△ABC中，BC=

AB2+BC2

=

1+1

=

2

在等腰直角三角形CQR中，CR=y
∴CQ=

2

y
∵CQ=BC-BQ
即

2

y=

2

-

2

2

x
所以y=-

1

2

x+1．
（3）解：∵PR∥BC，PQ⊥BC
∴PR⊥PQ
又∵△BPQ为等腰三角形，
∴PQ=

2

2

x
∵PR∥BC
∴∠PRQ=∠RQC=45°
∴PR=

2

2

x
∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C
∴△APR∽△ABC
∴

PR

BC

=

PA

AB

即

2 2 x

2

=

1-x

1

解得：x=

2

3

．

点评：考查了等腰直角三角形的性质，以及相似三角形的性质，根据对应线段成比例来解决问题．