Question

6．如图，AF⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为点A，B，点D是AB延长线上一点，且满足AD=BC，DF=CD．
（1）试判断AF与BD的数量关系，并说明理由；
（2）已知点E是BC延长线上一点，且CE=BD，连接AE，若CD=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AF=BD．只要证明△DBC≌△FAD即可．
（2）先证明△CDF是等腰直角三角形，求出CF，再证明四边形CEAF是平行四边形即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AF=BD．
理由：∵AF⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DBC=∠DAF=90°，
在Rt△DBC和Rt△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△FAD，
∴AF=BD．

（2）∵△DBC≌△FAD，
∴∴∠DCB=∠ADF，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CDB+∠ADF=90°，
∴∠CDF=90°，∵CD=DF=2，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵EC=DB=AF，EC∥AF，
∴四边形ECFA是平行四边形，
∴AE=CF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，证明∠CDF是直角是解第二个问题的关键，属于中考常考题型．