Question

11．已知平行四边形ABCD中，
（1）如图1，若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE、CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（3）如图2，在（1）的基础上，连接BE，DF，分别交FC，EA于点G，H．求证：四边形EHFG为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边相等得AB=CD，已知DE=BF，再作线段的差可得CE=AF，即可得出结论；
（2）证出AE∥CF，可证四边形AFCE是平行四边形；
（3）由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，得出AF=CE，证出BF=DE，得出四边形BEDF为平行四边形，得出DF∥BE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD．AB∥CD，
又∵DE=BF，
∴AB-BF=CD-DE．即AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE、CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DCF，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（3）证明：由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，AE∥CF，
∵AB=CD，
∴BF=DE，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DF∥BE，
∴四边形EHFG为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质及判定方法．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．