Question

2．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：

（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=40°；
②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G₁、G₂、G₃、G₄，若∠BDC=135°，∠BG₁C=67°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；
（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；
②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG₁C=67°，计算出相等的角：∠DBG₄+∠DCG₄的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数．

解答 解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：
连接AD并延长到M．
因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°，∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC-∠A
=90°-50°
=40°．
②在箭头图G₁BDC中
因为∠BDC=∠G₁+∠G₁BD+∠G₁CD，
又∵∠BDC=135°，∠BG₁C=67°
∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G₁、G₂、G₃、G₄
∴4（∠DBG₄+∠DCG₄）=135°-67°
∴∠DBG₄+∠DCG₄=17°．
∴∠ABG₁+∠ACG₁=17°
∵在箭头图G₁BAC中
∵∠BG₁C=∠A+∠G₁BA+∠G₁CA，
又∵∠BG₁C=67°，
∴∠A=50°．
答：∠A的度数是50°．

点评 本题考查了外角和内角的关系以及角的计算．找出“箭头图”并利用“箭头图”间角的关系是解决本题的关键