Question

6．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由对称轴公式及A、C两点的坐标直接求解即可；
（2）由于B点与A点关于对称轴对称，故连接BC与对称轴的交点即为M点；
（3）设出P点的纵坐标，分别表示出BP，PC，BC三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），
∴B（-3，0），
把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，
则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3，得y=2，
∴M（-1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）；

（3）设P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），
BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（t-3）²+1²=t²-6t+10，
若B为直角顶点，则：BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解得：t=-2；
若C为直角顶点，则：PB²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解得：t=4；
若P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，解得：t=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$．
综上所述，满足要求的P点坐标为（-1，-2），（-1，4），（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$），（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）

点评 本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称与最短路径问题，勾股定理，一元一次方程，一元二次方程等知识点，难度不大．对于第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键．