Question

1．如图，已知△ABC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，点M在边BC上，AM交DE于点F．
（1）求证：$\frac{DF}{FE}$=$\frac{BM}{MC}$；
（2）当M是BC的中点时，探求DF与EF之间的数量关系，由此你可以得到一个什么样的结论？与同伴交流．
（3）当M为中点，且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$时，求证：点F是△ABC的重心．

Answer 1

分析 （1）利用DE∥BC可判断△ADF∽△ABM，△AEF∽△AMC，则利用相似三角形的性质得$\frac{DF}{BM}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{EF}{MC}$=$\frac{AF}{AM}$，所以$\frac{DF}{BM}$=$\frac{EF}{MC}$，然后利用比例性质即可得到结论；
（2）利用BM=CM和（1）中的结论可得到DF=EF；
（3）取AC的中点N，连结MN，BN，BN交AM于F′，如图，证明△ADE∽△ABC和△ADF∽△ABM可得到$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，则$\frac{AF}{FM}$=2，再利用MN为△ABC的中位线和△F′AB∽△F′MN可得到$\frac{AF′}{F′M}$=$\frac{AB}{MN}$2，所以点F′与点F重合，由于点F′为△ABC的重心，于是可判断点F是△ABC的重心．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABM，△AEF∽△AMC，
∴$\frac{DF}{BM}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{EF}{MC}$=$\frac{AF}{AM}$，
∴$\frac{DF}{BM}$=$\frac{EF}{MC}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BM}{MC}$；
（2）解：DF=EF．理由如下：
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
而$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BM}{MC}$，
∴DF=EF；
（3）解：取AC的中点N，连结MN，BN，BN交AM于F′，如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵∴△ADF∽△ABM，
∴$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AF}{FM}$=2，
∵M点BC的中点，N点为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，
∵△F′AB∽△F′MN，
∴$\frac{AF′}{F′M}$=$\frac{AB}{MN}$2，
∴点F′与点F重合，
而点F′为△ABC的重心，
∴点F是△ABC的重心．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线的性质；解决问题的关键是熟练运用比例的性质．