Question

12．如图，矩形OABC中，OA=4，OC=8，点D是线段OB的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO作匀速运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正半轴作匀速运动，P，Q同时出发，设运动的时间为t．
（1）求点B，点D的坐标；
（2）函数y=$\frac{k}{x}$经过点D，R为y=$\frac{k}{x}$上一点，在P，Q的整个运动过程中，若以点P，Q，B，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由矩形的对边相等得出点B（8，4），由中点定义得D（4，2）；
（2）分两种情形①如图1中，当P在线段OA上时，四边形PQRB是平行四边形，如图2中，当点P在AO的延长线上时，四边形PQBR是平行四边形，利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，
∵OC=8，
∴B（8，4），
∵点D是线段OB的中点，
∴D（4，2）；
（2）∵函数y=$\frac{k}{x}$经过点D，
∴k=4×2=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
如图1中，当P在线段OA上时，四边形PQRB是平行四边形，作RM⊥BC于M，
由△POQ≌△BMR，得BM=OP，RM=OQ，
∴R（8+t，$\frac{8}{8+t}$），
∵OP=BM，
∴4-t=4-$\frac{8}{8+t}$，
∴t²+8t-8=0，解得t=-4+2$\sqrt{3}$或-4-2$\sqrt{3}$（舍弃）．
如图2中，当点P在AO的延长线上时，四边形PQBR是平行四边形，作RM⊥BC于M．
由△POQ≌△BMR得到，OP=BM，OQ=RM，
∴点R（$\frac{8}{8-t}$，8-t），
∵OQ=RM，
∴t=8-$\frac{8}{8-t}$，
∴t²-16t+56=0，
∴t=8±$\sqrt{13}$，
∴t=-4+2$\sqrt{3}$或8±$\sqrt{13}$秒时，P，Q，B，R为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查反比例函数、平行四边形、矩形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．