Question

已知在平面直角坐标系中四边形A₁B₁C₁D₁，其中A₁（2，-2）、
B₁（0，2）、C₁（-2，1）、D₁（0，-1），A₁B₁、C₁D₁分别与x轴交于点P（1，0）和Q（-1，0）．
（1）画出四边形A₁B₁C₁D₁关于y轴对称的四边形A₂B₂C₂D₂，并写出各顶点坐标；
（2）求四边形A₁B₁C₁D₁与A₂B₂C₂D₂重叠部分的面积；
（3）在坐标系里适当地选取一点E，写出它的坐标，使得△B₁OP与△B₁EC₁全等，并能以此证明A₁B₁⊥C₁B₁（写出简要的证明过程）．

Answer 1

考点：作图-轴对称变换,全等三角形的判定

专题：作图题

分析：（1）根据网格结构找出点A₂、B₂、C₂、D₂的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据轴对称性，重叠部分的面积等于2S_△B1PD1列式计算即可得解；
（3）取E（-2，2），根据点的坐标可得OP=EC₁，OB₁=EB₁，然后利用“边角边”证明△B₁OP与△B₁EC₁全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠OB₁P=∠EB₁C₁，然后求出∠C₁B₁A₁=90°，根据垂直的定义证明即可．

解答：解：（1）四边形A₂B₂C₂D₂如图所示，A₂（-2，-2），B₂（0，2），C₂（2，1），D₂（0，-1）；
（2）重叠部分为四边形D₁PB₁Q，
由对称性知，重叠部分的面积=2S_△B1PD1，
所以，重叠部分的面积=2×

1

2

×3×2=6；

（3）取E（-2，2），连接EB₁、EC₁，
在△B₁OP与△B₁EC₁中，

OP=EC1=1 ∠B1OP=∠B1EC1=90° OB1=EB1

，
∴△B₁OP≌△B₁EC₁（SAS），
∴∠OB₁P=∠EB₁C₁，
∴∠C₁B₁A₁=∠C₁B₁O+∠OB₁P=∠C₁B₁O+∠EB₁C₁=∠EB₁O=90°，
∴A₁B₁⊥C₁B₁．
[注：选取（0，1）也可]．

点评：本题考查了利用轴对称变换作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．