Question

如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P．已知正方形ABCD的三个顶点为A（4，4），B（6，4），D（4，6）．
（1）请用含有n的代数式表示抛物线的解析式为y=

 

．
（2）若直线AD与抛物线交于点N，与x轴交于点M，tan∠NOP=2，当点Q（m，2m-5）在第一象限的抛物线上时，求Q点及其关于直线MN对称点Q′的坐标；
（3）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）应用待定系数法即可求得．
（2）根据tan∠NOP=

NM

OM

=2求得N（4，8），进而求得抛物线的解析式，根据Q（m，2m-5）在抛物线上，可求得m的值，从而求得Q的坐标，即可求得关于直线MN对称点Q′的坐标．
（3）将A（4，4），C（6，6）分别代入y=-x²+nx；即可求得．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P（n，0）．
∴

c=0 -n2+nb+c=0

 解得

b=n c=0

∴y=-x²+nx；

（2）∵在Rt△OMN中tan∠NOP=2，而tan∠NOP=

NM

OM

，
∵AD⊥x轴，A（4，4），D（4，6），
∴OM=4，MN=8，N（4，8），
∴将点N的坐标代入y=-x²+nx，得n=6，
即y=-x²+6x，
∵Q（m，2m-5）在抛物线上，
∴2m-5=-m²+6m，
即m²-4m-5=0，
∴m=5或m=-1，
∵点Q在第一象限，
∴Q（5，5），
∵直线MN为x=4，
∴点Q关于直线MN对称的点的坐标为Q′（3，5）；

（3）5≤n≤7．
∵把A（4，4）代入y=-x²+nx得：4=-16+4n，解得：n=5，
把C（6，6）代入y=-x²+nx得：6=-36+6n，解得：n=7，
∴5≤n≤7．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角函数的应用，关于直线对称的性质以及解不等式的知识等．