Question

17．已知G为△ABC的重心，过G的直线交AB于P，交AC于Q，设$\frac{AP}{PB}$=a，$\frac{AQ}{QC}$=b，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1．

Answer 1

分析 根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．

解答 解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则GE=GF，
∵GD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2GD，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{PB}{PA}$+$\frac{CG}{AG}$=$\frac{BE}{AG}$+$\frac{CF}{AG}$=$\frac{BE+CF}{AG}$=$\frac{2GD}{AG}$=1，
故答案为1．

点评 本题主要考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理，难度适中．