Question

5．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据夹角相等，对应边成比例可证；
（2）OP是OA，OB的比例中项，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．

解答 （1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴$\frac{AO}{PO}$=$\frac{PO}{BO}$=2，
∵PO=CO，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO；

（2）解：设OP=x，则OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，
∴x²=（x-1）（x+m），
∴x=$\frac{m}{m-1}$．
即OP=$\frac{m}{m-1}$，
∴OB=$\frac{1}{m-1}$，
∵OP是OA，OB的比例中项，即$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∵OP=OC，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$．
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OP}{OB}$=m．
当点C与点P或点Q重合时，可得$\frac{AC}{BC}$=m，
∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．