Question

13．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB边上的一点，且AE=1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作点E关于AC的对称点，E′，连结E′Q，E′B，E′B．先利用轴对称的性质证明QE′=QE，则QE+QB=QE′+QB，当点E′、Q、B在一条直线上时，△QEB的周长最小，然后再证明△ABE′为直角三角形，从而可求得E′B的值，最后依据△QEB的周长=BE+QE+QB=BE+BE′求解即可．

解答 解：作点E关于AC的对称点，E′，连结E′Q，E′B，E′B．

∵ABCD为菱形，
∴点E′在AD上．
∵点E与点E′关于AQ对称，
∴QE′=QE．
∵EB为定值，
∴当EQ与BQ和最小时，△QEB的周长最小．
∵QE+QB=QE′+QB，
∴当点E′、Q、B在一条直线上时，△QEB的周长最小．
∵AE=AE′，∠DAB=60°，
∴△AEE′为等边三角形．
∴∠E′EA=∠AE′E=60°，EE′=AE．
∵AB=2，AE=1，
∴EB=AE，
∴EE′=EB．
∴∠EE′B=∠EBE′=$\frac{1}{2}$∠E′EA=30°．
∴∠AE′B=90°．
∴E′B=$\sqrt{A{B}^{2}-AE{′}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴△QEB的周长的最小值=1+$\sqrt{3}$．
故答案为：1$+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路经最短、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，明确当当点E′、Q、B在一条直线上时，△QEB的周长最小时解题的关键．