Question

17．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠D=40°，∠B=30°，求∠E的大小；
（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
当∠B：∠D：∠E=2：4：x时，x=3．
（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠D、∠B之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请直接写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，则可得∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），继而求得答案；
（2）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，则可得∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），继而求得答案；
（3）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．

解答 解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），
∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$×（40°+30°）=35°；

（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），
∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，
∴∠AEC=$\frac{m°+n°}{2}$；
∵∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），∠B：∠D：∠E=2：4：x，
∴x=$\frac{1}{2}$（2+4）=3；

（3）延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE-$\frac{1}{2}$（∠B+∠BAD+∠D）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠D），
即∠AEC=$\frac{∠ABC-∠ADC}{2}$．

点评 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．