Question

7．为测量某特种车辆的性能，研究制定了行驶指数P，P=K+1000，而K的大小与平均速度v（km/h）和行驶路程s（km）有关（不考虑其他因素），K由两部分的和组成，一部分与v²成正比，另一部分与sv成正比．在实验中得到了表格中的数据：

速度v	40	60
路程s	40	70
指数P	1000	1600

（1）用含v和s的式子表示P；
（2）当行驶指数为500，而行驶路程为40时，求平均速度的值；
（3）当行驶路程为180时，若行驶指数值最大，求平均速度的值．

Answer 1

分析 （1）设K=mv²+nsv，则P=mv²+nsv+1000，待定系数法求解可得；
（2）将P=500代入（1）中解析式，解方程可得；
（3）将s=180代入解析式后，配方成顶点式可得最值情况．

解答 解：（1）设K=mv²+nsv，则P=mv²+nsv+1000，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4{0}^{2}•m+1600n+1000=1000}\\{6{0}^{2}•m+4200n+1000=1600}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{6m+7n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
则P=-v²+sv+1000；

（2）根据题意得-v²+40v+1000=500，
整理得：v²-40v-500=0，
解得：v=-10（舍）或v=50，
答：平均速度为50km/h；

（3）当s=180时，P=-v²+180v+1000=-（v-90）²+9100，
∴当v=90时，P_最大=9100，
答：若行驶指数值最大，平均速度的值为90km/h．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组、解一元二次方程的能力及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求得函数解析式是解题的关键．