Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）由OD∥AC，证得△BDO∽△BCA，根据相似三角形的性质得出$\frac{BE+2}{BE+4}$=$\frac{2}{3}$，解得BE=2，然后根据勾股定理即可求得BD的长度．

解答 解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）由（1）知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴$\frac{BO}{BA}$=$\frac{DO}{CA}$．
∵⊙O的半径为2，
∴DO=OE=2，AE=4．
∴$\frac{BE+2}{BE+4}$=$\frac{2}{3}$．
∴BE=2．
∴BO=4，
∴在Rt△BDO中，BD=$\sqrt{B{O}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．