Question

7．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把a与h的比值叫做这个菱形的“形变度”．
（1）当形变后的菱形有一个内角是60°时，则这个菱形的“形变度”为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）如图2，菱形ABCD的“形变度”为$\sqrt{5}$．
①这个菱形形变前与形变后的面积之比为$\sqrt{5}$．
②点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求四边形EFGH形变前与形变后的面积之比．
（3）一个正方形ABCD由边长为1的5×5网格小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′如图3，原正方形内的△AEF（E、F是小正方形的顶点），同时形变为△A′E′F′，已知这个菱形的“形变度”为$\frac{5}{4}$，则形变后的△A′E′F′的面积为4.4．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，由∠B=60°，在Rt△ABC中，利用正弦函数求得；
（2）①求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比即为所求；
②分别表示出四边形EFGH形变前与形变后的面积，进而得出答案；
（3）利用（2）中所求得出两个四边形的面积比，即可得出答案．

解答 解：（1）由题意得，∠B=60°，
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴h=AC=ABsin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；

（2）①形变前的面积=a²，
∵k=$\sqrt{5}$，∴$\frac{a}{h}$=$\sqrt{5}$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，
∴形变后的面积=a•$\frac{\sqrt{5}a}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a²
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{5}{a}^{2}}{5}}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$；

②∵点E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH形变前的面积为$\frac{1}{2}$a²，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，同理EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积=$\frac{1}{2}$BD×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$ah，
∴四边形EFGH形变前的面积与形变后的面积之比是：$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\frac{1}{2}ah}$=$\frac{a}{h}$=$\sqrt{5}$，

（3）如图3所示：∵这个菱形的“形变度”为$\frac{5}{4}$，
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：$\frac{5}{4}$，
∵S_△AEF=25-$\frac{1}{2}$×3×5-5-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×3×4=5.5，
∴S_{△A′E′F′}=4.4．
故答案为：4.4．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．