Question

已知△ABC为等边三角形，D为AB的中点，E在AC上，CE＜BD，作∠EDF=60°，交BC于点F，求证：BD-CE=EF-BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,三角形中位线定理

专题：

分析：作DM∥BC交AC于M，延长CB至N，使BN=EM，证出△DBN≌△DME，推出DN=DE，∠BDN=∠MDE，求出∠FDN=∠EDF，证出△FDN≌△FDE，推出EF=NF，即可得出答案．

解答：证明：作DM∥BC交AC于M，延长CB至N，使BN=EM，
∵等边三角形ABC中，D为AB中点，DM∥BC，
∴DM是△ABC的中位线，BD=

1

2

AB=

1

2

BC，∠BDM=∠DME=120°，∠ABC=60°，
∴DM=

1

2

BC=BD=CM，∠DBN=∠DME=120°，
在△DBN和△DME中

BD=DM ∠DBN=∠DME BN=ME

∴△DBN≌△DME（SAS），
∴DN=DE，∠BDN=∠MDE，
∴∠EDF=60°，∠BDM=120°，
∴∠FDN=∠FDB+∠NDB=∠FDB+∠MDE=60°=∠EDF，
在△FDN和△FDE中，

DF=DF ∠FDN=∠FDE DN=DE

，
∴△FDN≌△FDE（SAS），
∴EF=NF，
即EF-BF=NF-BF=BN，BD-CE=CM-CME=BN，
∴BD-CE=EF-BF．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，题目比较好，有一定的难度．