Question

5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=15，CD=5，AD=BC=13，矩形EFGH内接于四边形ABCD中．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）设AE=x，矩形EFGH的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）矩形EFGH能否为正方形？若能，试求该正方形的边长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N，根据勾股定理求出DM，根据梯形的面积公式计算即可；
（2）根据相似三角形的性质用x表示出HE，利用矩形的面积公式计算；
（3）根据正方形的判定定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N，
则四边形DMNC为矩形，
∴MN=DC=5，
∴AM=BN=5，
由勾股定理得，DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=12，
则四边形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$×（5+12）×12=102；

（2）∵HE∥DN，
∴$\frac{AE}{AM}$=$\frac{HE}{DN}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{EH}{12}$，
解得，EH=$\frac{12}{5}$x，
∴矩形EFGH的面积y=（15-2x）×$\frac{12}{5}$x=-$\frac{24}{5}$x²+36x，
y=-$\frac{24}{5}$x²+36x=-$\frac{24}{5}$（x-$\frac{15}{4}$）²+$\frac{135}{2}$，
∴y的最大值为$\frac{135}{2}$；

（3）当HE=EF时，矩形EFGH为正方形，
∴$\frac{12}{5}$x=15-2x，
解得，x=$\frac{75}{22}$，
该正方形的边长为15-2×$\frac{75}{22}$=$\frac{90}{11}$．

点评 本题考查的是梯形的性质、二次函数的应用以及相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．