如图.在平面直角坐标系中.直线AB与x轴交于点A(4.0).与y轴交于点B(0.4).抛物线y=x2-4x+4的顶点为E．点C的坐标为.点C关于AB的对称点是点D.连结BD.CD.CE.DE(1)当点C在线段OB上时.求证:△BCD是等腰直角三角形,(2)当m＞0时.若△CDE为直角三角形.求tan∠CEO的值,(3)设点P是该抛物线上一点.是否存在m的值.使以P.C.D.E为顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），抛物线y=x²-4x+4的顶点为E．点C的坐标为（0，m）（m≠4），点C关于AB的对称点是点D，连结BD，CD，CE，DE
（1）当点C在线段OB上时，求证：△BCD是等腰直角三角形；
（2）当m＞0时，若△CDE为直角三角形，求tan∠CEO的值；
（3）设点P是该抛物线上一点，是否存在m的值，使以P，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由A（4，0），B（0，4），得出OB=OA=4，∠OBA=45°，因为点D与点C关于直线AB对称，即可证得结论；
（2）求得抛物线的顶点，分三种情况分别讨论，根据等腰直角三角形的性质求得m的值，进而就可求得tan∠CEO的值；
（3）分C在在线段OB上和当C在在线段OB的延长线上两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等求解即可．

解答（1）证明：∵A（4，0）B（0，4），
∴OB=OA=4，∠OBA=45°，
∵点D与点C关于直线AB对称，令交点为M，
∴DM=CM，CD⊥AB于M，
∴∠BCM=45°，BC=BD，∠BDC=45°
∴△BCD为等腰直角三角形；
（2）解：∵y=x²-4x+4=（x-2）²
∴E（2，0），
（Ⅰ）当∠DCE=90°时，如图1，

∵∠BCD=45°，
∴∠OCE=45°，△OCE为等腰直角三角形，
∴∠CEO=45°
∴OC=OE=2，
∴m=2，
∴tan∠CEO=1；
（Ⅱ）当∠CED=90°，如图2，作DH⊥x轴于点H，

∵OB=4，OC=m，
∴BC=4-m，
由（1）知BD=BC=OH=4-m，
∴EH=OH-OE=2-m，
∵∠CEO+∠OCE=90°，∠CEO+∠HED=90°，
∴∠OCE=∠HED，
又∵∠COE=∠EHD=90°，
∴tan∠OCE=tan∠HED，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{EH}{DH}$即$\frac{m}{2}=\frac{2-m}{4}∴m=\frac{2}{3}$，
∴tan∠CEO=$\frac{1}{3}$；
（Ⅲ）当∠CDE=90°时，如图3，作DF⊥x轴于点F，

∵∠CMB=∠CDE=90°，
∴AB∥DE
∴∠DEF=∠BAO=45°，△DFE为等腰直角三角形
∴EF=DF=OB=4∴OF=DB=CB=2，
∴m=OC=6，
∴tan∠CEO=3；
（3）当C在在线段OB上时，如图4，作DG⊥OA于G，PH⊥DG于H，

∵四边形PDCE是平行四边形，
∴PD∥CE，PD=CE，
∴∠OCE=∠HDP，
在△COE和△DHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCE=∠HDP}\\{∠COE=∠DHP}\\{PD=CE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△DHP，
∴DH=OC，PH=OE，
∵C（0，m），B（0，4），E（2，0），
∴DH=OC=m，PH=OE=2，
∵BD=BC=4-m．
∴P（6-m，4-m），
代入y=x²-4x+4得4-m=（6-m）²-4（6-m）+4，
解得m₁=3，m₂=4，
当C在在线段OB的延长线上时，如图5，作DG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，

∵四边形PCDE是平行四边形，
∴PC∥DE，PC=DE，
∴∠GDE=∠HCP
在△DGE和△CHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠HCP}\\{∠DGE=∠CHP}\\{DE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PCH≌△EDG，
∴CH=DG=4，PH=GE，
∵DB=BC=m-4，
∴GO=DB=m-4，
∴GE=m-4+2=m-2=PH，HO=m-4，
∴P（m-2，m-4），
代入y=x²-4x+4得m-4=（m-2）²-4（m-2）+4，
解得m₃=4（舍去），m₄=5，
故存在m的值，使以P，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，此时m的值为3或5．