Question

15．已知：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合（点D与D′为对应点），折痕为EF，连接AF．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；
（2）如图2，若FC=2DF，连接AC交EF于点O，连接DO，D′O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形．

Answer 1

分析 （1）由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，由矩形性质得出∠ADC=∠BAD=90°，AE∥CF，证出AE=CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证出∠DAF=30°，得出∠EAF=60°，证出△AEF和△CEF是等边三角形；再证出OD=$\frac{1}{2}$AC=OA，∠OAD=60°，得出△AOD是等边三角形；证出CD′=OC=OD′，得出△COD′是等边三角形．

解答 （1）证明：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，
∴AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AE∥CF，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COD′；理由如下：
∵FC=2DF，AF=FC，
∴AF=2DF，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=AF，△AEF≌△CEF，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴△AEF和△CEF是等边三角形；
∵∠ADC=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∵∠OAF=$\frac{1}{2}$∠EAF=30°，
∴∠OAD=60°，
∴△AOD是等边三角形；
∵CD′=AD=OC，OD′=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD′=OC=OD′，
∴△COD′是等边三角形．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定、平行四边形和菱形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．