Question

20．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

解答 解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（4-x）²=x²+2²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴AP=$\frac{3}{2}$；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2，
根据折叠的性质可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{AB}{BC}$，
∴AP=$\frac{AD•BC}{AB}$=$\frac{3×3}{4}$=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．