Question

5．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）求证：∠ABM=∠CAH．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出MB，证出∠MCH=∠MBC，得出sin∠MCH=sin∠MBC，即可得出结果；
（2）先由射影定理得出AM²=MC²=MH•MB，得出比例式$\frac{MA}{MH}=\frac{MB}{MA}$，证出△AMH∽△BMA，得出对应角相等即可．

解答 （1）解：在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°，
∴∠MCH+∠BMC=90°，
∵∠MBC+∠BMC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，
∴sin∠MCH=sin∠MBC=$\frac{MC}{MB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）证明：∵∠ACB=90°，CH⊥BM，
根据射影定理得：AM²=MC²=MH•MB，
∴$\frac{MA}{MH}=\frac{MB}{MA}$，
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠ABM=∠CAH．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．