Question

16．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；
（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）当y=-x²-2x+3中y=0时，有-x²-2x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0）．
当y=-x²-2x+3中x=0时，则y=3，
∴C（0，3）．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点D（-1，4）．
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），
∴C′（0，-3）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-7}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=-7x-3，
当y=-7x-3中y=0时，x=-$\frac{3}{7}$，
∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（-$\frac{3}{7}$，0）．
（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-3a+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F（m，m+3），
△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF=90°时，P（m，-m-3），
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-m-3=-m²-2m+3，
解得：m₁=-3（舍去），m₂=2，
此时点P的坐标为（2，-5）；
②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴0=-（2m+3）²-2×（2m+3）+3，
解得：m₃=-3（舍去），m₄=-1，
此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P（m，0），
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴0=-m²-2m+3，
解得：m₅=-3（舍去），m₆=1，
此时点P的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．

点评 本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．