Question

7．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S_△ABE=2S_△ECF，求BE．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；
（2）利用全等三角形的性质得出AB=EG=2，S_△ABE=S_△EGF，求出S_EGF=2S_△ECF，根据三角形面积得出EC=CG=1，根据正方形的性质得出BC=AB=2，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EGF}\\{∠BAE=∠GEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△EGF，AB=2，
∴AB=EG=2，S_△ABE=S_△EGF，
∵S_△ABE=2S_△ECF，
∴S_EGF=2S_△ECF，
∴EC=CG=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∵BC=AB=2，
∴BE=2-1=1．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．