Question

1．在正六边形ABCDEF中，P是AB边上一点，PM∥AF交EF于M，PN∥BC交CD于N．
（1）直接写出$\frac{PM+PN}{ED}$的值为3
（2）若$\frac{PN}{PM}=\frac{5}{4}$，①求证：PB=2PA；②求$\frac{FD}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，设AP=a，PB=b，则AF=BC=ED=a+b，求出PM+PN，即可解决问题；
（2）①如图2中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，设AP=a，PB=b，则AF=BC=a+b，由PN：PM=5：4，可得（a+2b）：（2a+b）=5：4，推出4a+8b=10a+5b，推出b=2a即可解决问题；
②如图3中，延长FE交CD的延长线于K，连接DF，作NT⊥EK于T，EW⊥DF于W．设正六边形的边长为6m．求出DF、MN即可解决问题；

解答 （1）解：如图1中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，设AP=a，PB=b，则AF=BC=ED=a+b，

在正六边形ABCDEF中，∠F=∠FAB=∠ABC=∠C=120°
∵PM∥AF交EF于M，PN∥BC交CD于N，
∴四边形MFAH、四边形BCKG是平行四边形，易证△APH，△PBG是等边三角形，
∴HM=AF，GJ=BC，PH=PA=a，PG=PB=b，
∴PM+PK=a+b+a+a+b+b=3（a+b），
∴$\frac{PM+PN}{ED}$=$\frac{3（a+b）}{a+b}$=3．
故答案为3．

（2）①证明：如图2中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，设AP=a，PB=b，则AF=BC=a+b，

易知：PM=2a+b，PN=a+2b，
∵PN：PM=5：4，
∴（a+2b）：（2a+b）=5：4，
∴4a+8b=10a+5b，
∴b=2a，
∴PB=2PA．

②如图3中，延长FE交CD的延长线于K，连接DF，作NT⊥EK于T，EW⊥DF于W．设正六边形的边长为6m．

由（2）可知PA=2m，PB=4m，易知EM=4m，DN=2m，EM=10m，KN=8m，
在Rt△KNT中，∵∠NTK=90°，∠K=60°，
∴TK=$\frac{1}{2}$KN=4m，TN=4$\sqrt{3}$m，
在Rt△MTN中，∵∠MTN=90°，TM=6m，
∴MN=$\sqrt{T{M}^{2}+T{N}^{2}}$=$\sqrt{（6m）^{2}+（4\sqrt{3}m）^{2}}$=2$\sqrt{21}$m，
在Rt△EFW中，FW=EF•cos30°=3$\sqrt{3}$m，
∵EF=ED，EW⊥DF，
∴FW=WD，
∴DF=6$\sqrt{3}$m，
∴$\frac{FD}{MN}$=$\frac{6\sqrt{3}m}{2\sqrt{21}m}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查正多边形的性质、平行四边形的判定和性质．解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．