Question

13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H，如图MH=2，NH=3，求AH的长．

Answer 1

分析 延长CB至E，使BE=DN，推出Rt△AEB≌Rt△AND，△AEM≌△ANM，得到AB=AH，根据全等三角形的性质得到BM=HM=2，同理DN=HN=3，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：延长CB至E，使BE=DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADN}\\{BE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM，
∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH，
∴AH=AB=BC=CD=AD，
在Rt△ABM与Rt△AHM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM，
∴BM=HM=2，
同理DN=HN=3，
设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得x₁=6，x₂=-1（不符合题意，舍去）
∴AH=6．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．