Question

11．△ABC中，D是AC上一点，AD：DC=2：1，BD=$\sqrt{3}$+1，∠ADB=60°，∠C=45°，试判断直线AB与△BCD的外接圆是相交还是相切，并证明你的结论．

Answer 1

分析 过B作BE⊥AD，E为垂足，不妨设AD=2，CD=1，设ED=x，由∠C=45°，∠ADB=60°，可得到$\sqrt{3}$x=x+1，求出x，利用勾股定理可求出AB=6，因此得到AB²=AD•AC，△ABD∽△ACB，∠ABD=∠ACB=45°，再证明∠ABF=90°，过B作直径BF即可得到．

解答 解：直线AB与△BCD的外接圆相切．
理由：如图，⊙O为△BCD的外接圆．过B作BE⊥AD，E为垂足，不妨设AD=2，CD=1，设ED=x，
∵∠C=45°，
∴BE=x+1，
∵∠ADB=60°，
∴BE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x=x+1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
则BE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，AE=AD-ED=2-x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
在RT△AEB中，AB²=BE²+AE²=（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²=6，
而AD•AC=2×3=6
∴AB²=AD•AC，而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
过B作直径BF，则∠ADF=90°，
连DF，则∠F=∠ACB=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠ABF=90°，
∴AB是⊙O的切线，即AB是△BCD的外接圆的切线．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意作出△BCD的外接圆，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．