Question

6．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P；
（1）如AE=CF=2，
①试判断AF与BE的数量关系，并说明你的理由；
②试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从A运动到点C时，请直接写出点P经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
②利用勾股定理求得AF的长度，再根据平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得$\frac{AP}{AF}$的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度，然后综合上述两种情况可得到图3和图4两种情况．

解答 （1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS）．
∴AF=BE．
②△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC．
∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠FAC=60°．
∴∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AE}{AF}$，即 $\frac{AP}{6}=\frac{2}{AF}$．
∴AP•AF=12．
（2）①如图1所示：当AE=CF时，点P的路径是一段弧．

由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=2$\sqrt{3}$．
∴点P的路径是l=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{120π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
②如图2所示，当AE=BF时，过点C作CH⊥AB垂足为H．
点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度．

∵等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB．
∴BH=3．
∴点P的路径CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
③如图3所示：

$\widehat{AG}=\frac{1}{2}\widehat{AB}=\frac{1}{2}•\frac{4\sqrt{3}π}{3}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．
∵OA=0B，CA=CB，
∴OC垂直平分AB．
又∵∠AOB=120°，
∴∠AOG=60°．
∴OD=ADtan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．OA=2OD=2$\sqrt{3}$．
∴DG=OG-OD=2$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴GC=3$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
所以点P经过的轨迹=$\widehat{AG}$+GC=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+2$\sqrt{3}$．
④如图4所示：

由③可知：DG=$\sqrt{3}$，$\widehat{BG}$=$\widehat{AG}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．
所以点P经过的轨迹=$\widehat{BG}+DG$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+$\sqrt{3}$．
综上所述，点P经过的轨迹的长度为$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$或3$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}π}{3}+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．