Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4）、B（-4，0），BE⊥AC于E交y轴于点M（0，a），且∠BMA=105°．下列四个结论：①AE=

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AB；②点C的坐标为（2a，0）；③AB=CM+BM；④CE+CM=AE．其中结论正确的序号是（　　）

• A、只有①④
• B、只有①③④
• C、只有②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：先求出∠ABM=30°，即可得出结论①正确；通过证明△AOC≌△BOM，得出②错误；延长ME至F，使EF=ME，连接AF、CF，证明AB=AF，得出③正确；在AE上截取EG=CE，连接GM、GF，得出四边形MCFG是菱形，证出④正确．

解答： 解：∵A（0，4）、B（-4，0），
∴△OAB时等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BMA=105°，
∴∠ABM=180°-105°-45°=30°，
∵BE⊥AC，∴AE=

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AB，
∴①正确；
∵∠BAE=90°-∠ABE=60°，
∴∠OAC=60°-45°=15°，
∵∠OBM=45°-30°=15°，
∴∠OAC=∠OBM，
在△AOC和△BOM中，

∠OAC=∠OBM   OA=OB   ∠AOC=∠BOM

，
∴△AOC≌△BOM（ASA），
∴OC=OM=a，
∴C（a，0），
∴②错误；
延长ME至F，使EF=ME，连接AF、CF，如图所示：
∴AF=AM，
∴CF=CM，
∴∠FAE=∠OAC=15°，
∴∠BAF=45°+15°+15°=75°，∠AFB=75°，
∴AB=BF，
∵OC=OM，
∴∠OMC=45，
∴∠CMF=60°，
∴△CMF是等边三角形，
∴CM=MF，
∴AB=BM+MF=BM+CM，
∴③正确；
在AE上截取EG=CE，连接GM、GF，如图所示：
则四边形MCFG是菱形，
∴∠MGF=60°，
∴∠MGE=30°，
∴∠AMG=30°-15°=15°，
∴GM=AG，
∴CE+CM=GE+AG=AE，
∴④正确；
故选：B．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定以及图形与坐标性质、含30°角的直角三角形的性质；证明三角形全等是解决②的关键；特别是通过作辅助线解决问题③④是常用的方法．