如图.△ABC是边长为6的等边三角形.P是AC边上一动点.由A向C运动.Q是CB延长线上一点.由B向CB延长线方向运动.连接PQ交AB于D．若两点同时出发.以相同的速度每秒1个单位运动.运动时间为t．(1)当∠PQC=30°时.求t的值,(2)过P作PE⊥AB于E.过Q作QF⊥AB.交CB的延长线于F.请找出图中在运动过程中的一对全等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t．
（1）当∠PQC=30°时，求t的值；
（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB，交CB的延长线于F，请找出图中在运动过程中的一对全等三角形，加以证明；
（3）在（2）的条件下，当P，Q在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=

QC，即6-x=

（6+x），求出x的值即可；
（2）连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF；
（3）由（2）中的全等三角形得到：AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=

AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答：

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=

QC，即6-x=

（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（2）△APE≌△BQF或△EPD≌△FQD．以△APE≌△BQF为例，证明如下：
连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，

∠AEP=∠BFQ

∠A=∠FBQ

AP=BQ

，
∴△APE≌△BQF（AAS）；

（3）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
由（2）知，∵△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=

AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．