Question

在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于点F、E，AB=4，BC=

3

，AC=3

3

，求EF．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对边相等：EF=CG．

解答： 解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．
由勾股定理得到：CH²=AC²-（AB+BH）²=BC²-BH²，
∵AB=4，BC=

3

，AC=3

3

，
∴（3

3

）²-（4+BH）²=（

3

）²-BH²，
解得∴BH=1．
∴AH=AB+BH=4+1=5．
∴CH=

AC2-AH2

=

2

．
∵CG∥FE、AC⊥FE，
∴CG⊥AC．
∵∠CAH=∠GAC，∠AHC=∠ACG=90°，
∴△ACH∽△AGC，
∴CH：CG=AH：AC，
∴CG=

CH•AC

AH

=

2 ×3 3

5

=

3 6

5

．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴FC∥EG．
又CG∥FE，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴EF=CG=

3 6

5

．

点评：本题考查了平行四边形的性质．解题时利用了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．