Question

13．同学们都知道，|4-（-2）|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）|4-（-2）|=6；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x-4|+|x+2|=8成立；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则有|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在点A的左边、X在AB之间、X在点A的右边三种情况讨论，就可解决问题；
（3）设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鉴（2）中的经验可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．

解答 解：（1）|4-（-2）|=|4+2|=6，
故答案为6；

（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6．
①X在点A的左边时，AX+AB+AX=2AX+6=8，
∴AX=1，∴X所对应的数是-2-1=-3；
②当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=8，与AB=6矛盾；
③X在点A的右边时，AB+BX+BX=6+2BX=8，
∴BX=1，∴X所对应的数是4+1=5．
综上所述：符合条件的整数x为-3或5；

（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
提示：设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．
∵AX+BX≥AB，
∴|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．

点评 本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．