Question

5．等腰三角形ABC的周长为30，其中一个内角的余弦值为$\frac{2}{3}$，则其腰长为9或18-3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 ①若底角余弦值为$\frac{2}{3}$，设其腰长为x，作AD⊥BC，可得BD=15-x，根据余弦函数定义列方程求得x的值即可；②若顶角余弦值为$\frac{2}{3}$，设AC=3x，求得BD=x、CD=$\sqrt{5}$x、BC=$\sqrt{6}$x，利用三角形的周长求得x的值，即可得出答案．

解答 解：①若底角余弦值为$\frac{2}{3}$，如图1，作AD⊥BC于点D，

设AB=AC=x，
则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{30-2x}{2}$=15-x，
∵cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{15-x}{x}$=$\frac{2}{3}$，
解得：x=9，
即腰长为9；

②若顶角余弦值为$\frac{2}{3}$，如图2，作CD⊥AB于点D，

由cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，设AC=3x，则AD=2x，
∴BD=AB-AD=AC-AD=x，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{5}x）^{2}}$=$\sqrt{6}$x，
由AB+AC+BC=30可得3x+3x+$\sqrt{6}$x=30，
解得：x=6-$\sqrt{6}$，
则腰长为3x=18-3$\sqrt{6}$，
故答案为：9或18-3$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查等腰三角形和解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质、三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．