Question

18．如图，在△ABC中，AB=4，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，且DE=2
（1）用直尺和圆规作AD的垂直平分线交AC于F；（保留作图痕迹，不写画法）
（2）求证：DF∥AB；
（3）设DF=x，△ABC的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据作线段的垂直平分线这个基本作图求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质得FA=FD，则∠FAD=∠FDA，加上∠EAD=∠FAD，所以∠EAD=∠FDA，于是可判断DF∥AB；
（3）DF=AF=x，则FC=AC-x，先证明△CDF∽△CBA，利用相似比可求出AC=$\frac{4x}{4-x}$，再利用角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离都等于2，则可根据三角形面积公式得到y=$\frac{1}{2}$•2•4+$\frac{1}{2}$•2•$\frac{4x}{4-x}$=$\frac{16}{4-x}$，由于当x最小时，4-x最大，y最小，根据垂线段最短得x的最小值为2，然后计算y的最小值．

解答 （1）解：如图，

（2）证明：∵作AD的垂直平分线交AC于F，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
而AD是△ABC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠FDA，
∴DF∥AB；
（3）解：DF=AF=x，则CF=AC-x，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{CF}{CA}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{AC-x}{AC}$，解得AC=$\frac{4x}{4-x}$，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离都等于2，
∴y=S_△ADB+S_△ADC
=$\frac{1}{2}$•2•4+$\frac{1}{2}$•2•$\frac{4x}{4-x}$
=$\frac{16}{4-x}$，
∵当x最小时，4-x最大，则y最小，
∴当DF⊥AC时，x最小，此时x=2，
∴y的最小值=$\frac{16}{4-2}$=8．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线、线段的垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．