Question

7．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG=OG；
（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得AO=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC，AD∥BC，从而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；
（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=$\frac{1}{2}$AC=2AG，即可得到GO=AO-AG=AG；
（3）根据相似三角形的性质可得AG=$\frac{1}{4}$AC，AH=$\frac{2}{5}$AC，结合AO=$\frac{1}{2}$AC，即可得到a=$\frac{1}{4}$AC，b=$\frac{3}{20}$AC，c=$\frac{1}{10}$AC，就可得到a：b：c的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴$\frac{EG}{GB}$=$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AE}{BC}$．
∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3；

（2）∵GC=3AG（已证），
∴AC=4AG，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2AG，
∴GO=AO-AG=AG；

（3）∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，
∴△AFH∽△CBH，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{2AE}{3AE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2}{5}$，即AH=$\frac{2}{5}$AC．
∵AC=4AG，
∴a=AG=$\frac{1}{4}$AC，
b=AH-AG=$\frac{2}{5}$AC-$\frac{1}{4}$AC=$\frac{3}{20}$AC，
c=AO-AH=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{2}{5}$AC=$\frac{1}{10}$AC，
∴a：b：c=$\frac{1}{4}$：$\frac{3}{20}$：$\frac{1}{10}$=5：3：2．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、合比性质等知识，由两直线平行联想到三角形相似，从而得到边成比例，是常用的一种方法，应熟练掌握．