题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为
.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若
为直角三角形，求点P的坐标；
（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为
，
，取AB的中点E，连接
，
，试探究
是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）点P的坐标为：
或
；（3）
.
【解析】
（1）先根据一次函数的解析式，分别求出点B和点C的坐标，然后在将B、C的坐标代入二次函数解析式中，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）根据直角的情况分类讨论：①若
，此时
，代入到二次函数解析式中，即可求出点P的坐标；②若
，先求出直线PC的解析式，从而求出点P的坐标；③当
，由图易知不存在；
（3）连接
，
，作点C关于直线的对称点
，连接
、
，先用SAS证出△
≌△
，此时易证
≥，根据两点之间，线段最短，故当、
和E共线时，
的值最小，且最小值为，然后利用直线解析式求出的坐标，即可求出的长.
解：（1）B、C过直线
将y=0代入，解得x=3；将x=0代入，解得y=
；
∴
，
∵抛物线过点B、C
∴
∴
（2）①若，此时，代入到二次函数解析式中，
∴
，
∴
，
∴
②若（如图2）
∵
∴
∴
∴直线PC的解析式为：
∴
∴
③当，由图易知不存在.
综上所述：点P的坐标为或.
（3）由（2）知，，
，PC= EB=2，
EB
连接，，作点C关于直线的对称点，连接、，故
由平移可知：=
，
∴∠=∠
∴△≌△
∴=
≥
根据两点之间，线段最短，故当、和E共线时，的值最小，且最小值为
∵
∴
设直线的解析式为y=kx＋b，将点P坐标代入，可得
直线的解析式为
由（2）的结论可知：直线
的解析式为，设的坐标为
∴的中点坐标为
，代入中可得：a=1
∴的坐标为
∴
，
故
【题目】某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．
A型 | B型 | |
进价（元/盏） | 40 | 65 |
售价（元/盏） | 60 | 100 |
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
（3）若该商场预计用不少于2500元且不多于2600元的资金购进这批台灯，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？
