Question

【题目】对于给定的，我们给出如下定义：若点M是边上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的半圆为边上的点M关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于的最大内半圆．若点M是边上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为关于的内半圆．

（1）在中，，，

①如图1，点D在边上，且，直接写出点D关于的最大内半圆的半径长；

②如图2，画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；

（2）在平面直角坐标系中，点E的坐标为，点P在直线上运动（P不与O重合），将关于的内半圆半径记为R，当时，求点P的横坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①，②1，作图见详解；（2）t≥或.

【解析】

（1）①过点D作DE⊥AC，则以点D为圆心，DE长为半径的半圆与AC相切，利用等腰直角三角形的性质，即可求解；

②当点D为BC的中点时，以D为圆心，DE为半径的半圆就是关于的内半圆，进而可求解；

（2）设点P坐标为（t，），分两种情况分类讨论，①点P在第一象限时，②点P在第三象限时，分别求出t的取值范围，即可.

（1）①如图1，过点D作DE⊥AC，则以点D为圆心，DE长为半径的半圆与AC相切，

∴D关于的最大内半圆的半径长就是DE的长，

∵在中，，，，

∴DE=CD÷=1÷=

②如图2，当点D为BC的中点时，以D为圆心，DE为半径的半圆就是关于的内半圆，

∵在中，，，DE⊥AC ，

∴DE∥BA，

∴DE==×2=1；

（2）∵点P在直线上，

∴∠POE=30°

设点P坐标为（t，），

∵点E的坐标为，

∴OE=3，

①若点P在第一象限时，设点M是线段OE上的动点，作MN⊥OP，MG⊥PE，

∵，

∴当R=时，如图3，则MN=MG=，OM=2×MN==2×=，

∴ME=3-=，

∴OM=ME，

在RtOMN和RtEMG中，

∵

∴RtOMN RtEMG（HL）

∴∠MON=∠MEG=30°，

∴点P的横坐标t=，

当R=1时，如图4，则MN=1，OM=2×MN==2×1=2，此时，点P的横坐标t≥3，

∴t≥时，；

②若点P在第三象限时，作 MG⊥PE，PH⊥x轴，

当R=时，如图5，则MG=MO=，

∴ME=3-MO=3-=，

∴EG=，

∴tanE=，

∴，

∴，解得：，

∴时，.

综上所述：t≥或.

图1 图2

图3 图4

图5