Question

【题目】如图，是的外接圆，AB为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交AB延长线于点P.

（1）求证：PC是的切线；

（2）若，，求的半径；（用含m的代数式表示）

（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分，交AB于点E，连接BF，且，求线段PE的长.

Answer 1

【答案】：（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OC，根据平行线的判定可得，从而得出，然后根据切线的判定定理即可证出PC是的切线；

（2）根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等相等可得，然后根据锐角三角函数可得，，根据勾股定理可得：，结合已知条件即可求出BC，从而求出AB，即可求出圆的半径；

（3）连接AF，OC，过C作，根据等腰三角形的判定及性质即可求出AB=10，从而求出BC、OC和AC，利用锐角三角函数即可求出CF，再根据相似三角形的判定及性质可求出EF和CE，从而求出CG、OG，根据射影定理可求出OP，然后根据勾股定理可求出EG，从而求出OE的长，即可求出线段PE的长.

解析：（1）如图，连接OC

∵，

∴

∴

∴

即PC为的切线；

（2）∵AB为直径

∴∠ACB=90°

∵∠BCP＋∠ACD=180°－∠ACB=90°

∵∠DAC＋∠ACD=90°

∴

∴

则，

根据勾股定理：

∴

又∵

∴，解得：，

∴，

∴半径为

（3）如图，连接AF，OC，过C作

∵，

∴

∴

又∵

∴为等腰直角三角形

∵

∴，

∴，，

如下图，在中

过B作

∵

∴

又∵，，

∴，

∴

又∵，

∴

∴

∴

即

中，，

解得：CG=4

则在中，，，

根据勾股定理可得：OG=

由射影定理，

∴

又∵，

∴，且

∴

∴