Question

12．如图，在△ACB中，∠C=90°，AB=2BC，点O在边AB上，且BO=$\frac{1}{3}$AB，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AC于F，如图，理由三角函数可得到∠A=30°，则OA=2OF，再利用BO=$\frac{1}{3}$AB得到OA=2OB，所以OF=OB，于是根据切线的判定方法可判定AC是⊙O的切线；
（2）先证明△OFD和△OBE都是等边三角形得到OD=DF，∠BOE=60°，则可计算出∠EOF=60°，从而可判定△OEF为等边三角形，所以EF=OE，则有OD=DF=EF=OE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ODFE为菱形．

解答 （1）证明：作OF⊥AC于F，如图，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴OA=2OF，
∵BO=$\frac{1}{3}$AB，
∴OA=2OB，
∴OF=OB，
∴AC是⊙O的切线；

（2）四边形ODFE为菱形．理由如下：
∵∠A=30°，
∴∠AOF=∠B=60°，
∴△OFD和△OBE都是等边三角形，
∴OD=DF，∠BOE=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴△OEF为等边三角形，
∴EF=OE，
∴OD=DF=EF=OE，
∴四边形ODFE为菱形．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定方法．