Question

12．如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE=$3\sqrt{5}$，且∠ECF=45°，则CF的长为2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．

解答 解：如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=EC}\\{∠GCF=∠ECF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=3$\sqrt{5}$，CB=6，
∴BE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{B}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6-x，GF=3+（6-x）=9-x，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{9+{x}^{2}}$，
∴（9-x）²=9+x²，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．