Question

18．如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式与点D的坐标；
②直接写出△ODE的面积；
（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式．

Answer 1

分析 （1）①连接OE，则O、E、B三点共线，则E是OB的中点，即可求得E的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，进而求得D的坐标；
②根据S_△ODE=S_△OBC-S_△OCD-S_△BDE即可求解；
（2）作E关于OA轴的对称点E'，则直线DE'就是所求的直线PE，利用待定系数法即可求解．

解答 解：（1）①连接OB，则O、E、B三点共线．
∵B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，
∴E的坐标是（3，2），
∴k=3×2=6，
则函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$．
当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；
②S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×4×1.5=3，
S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（6-1.5）×2=4.5，
则S_△ODE=S_△OBC-S_△OCD-S_△BDE=12-3-3-4.5=4.5；
（2）作E关于OA轴的对称点E'，则E'的坐标是（3，-2）．
连接E'D，与x轴交点是P，此时PO+PE最小．
设y=mx+n，把E'和D的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2=3m+n}\\{4=1.5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=10}\end{array}\right.$，
则直线DE'的解析式是y=-4x+10．
令y=0，则-4x+10=0，解得x=$\frac{5}{2}$，则P的坐标是（$\frac{5}{2}$，0）．
设PE的解析式是y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}a+b=0}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
则直线PE的解析式是y=4x-10．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及图形的对称，求得函数的解析式是关键．